Ejercicios Resueltos de Derivadas

En esta asignatura te voy a argumentar qué es la funcionalidad derivada, cómo conseguir las funcionalidades derivadas para todos los tipos de funcionalidades y cómo usar las fórmulas de estas funcionalidades para derivar.

Observaremos además las operaciones con funcionalidades derivadas.

Si llegaste hasta aquí es porque deseas estudiar a solucionar algún ejercicio. ¿Has planeado en apuntarte a clases de matemáticas en línea?. Si luego de leer esto, deseas que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes llevar a cabo dos cosas: o continuar intentando encontrar por Internet o entrar en contacto conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Función derivada

Hasta la actualidad, para calcular la derivada de una utilidad en un punto lo hicimos usando la definición de la derivada:

Usando la definición de derivada, tenemos la posibilidad de conseguir la funcionalidad derivada de una utilidad, o séa, una utilidad que asocia a cada punto con la derivada en dicho punto.

O séa, en lugar de calcular la derivada para un único punto, la tenemos la posibilidad de calcular para x:

El resultado va a ser una utilidad que es dependiente de x y para conseguir la derivada en un punto concretamente, sólo debemos sustituir la x por ese punto en la funcionalidad derivada.

No se debe confundir los conceptos de derivada de una utilidad en un punto, que es un número real, con una utilidad derivada o sencillamente derivada, que es una utilidad.

Veremos un ejemplo: Encontrar la funcionalidad derivada de la siguiente función:

Aplicamos la definición de derivada:

Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus funcionalidades correspondientes:

Operamos y simplificamos términos:

Anulamos la h del numerador y del denominador y finalmente conseguimos el resultado:

Por consiguiente, la funcionalidad derivada de la funcionalidad previo es:

En esta ocasión, la funcionalidad derivada es una utilidad recurrente, o sea, no es el valor de la derivada en un punto, lo que significa que la derivada de la funcionalidad previo en algún punto es igual a 7.

Si calculamos el valor de la funcionalidad derivada en algún punto, el resultado siempre va a ser 7:

Veremos otro ejemplo.

Encontrar la funcionalidad derivada de la siguiente función:

y halla el valor de la derivada de esa funcionalidad en el punto x=2.

Antes que nada aplicamos la fórmula de la definición de derivada:

Sustituimos f(x+h) y f(x) por sus valores:

Desarrollamos el paréntesis que está al cuadrado:

Eliminamos paréntesis:

Simplificamos términos y sacamos aspecto habitual a la h en el numerador:

Eliminamos la h que se reitera en el numerador y en el denominador y conseguimos el resultado final:

La derivada de la funcionalidad es por tanto:

Para encontrar el valor de la derivada en x=2, por el momento no es requisito utilizar la fórmula de la derivada. Sencillamente sustituyendo la x por 2 en la funcionalidad derivada, conseguimos su valor para ese punto:

Cálculo de funcionalidades derivadas

Si conocemos la funcionalidad derivada de cada tipo de funcionalidad, tenemos la posibilidad de escribirla de manera directa sin obligación de calcular cada vez la funcionalidad derivada usando su definición.

Esto nos facilita calcular derivadas de una manera más directa, de forma simultanea que reduce bastante los cálculos en funcionalidades más complicadas.

Veremos ahora como es la derivada de todos los tipos de funciones:

Derivada de una constante

Poseemos una utilidad constante:

La derivada de una utilidad recurrente es cero:

Vamos a demostrarlo calculando su funcionalidad derivada usando la definición:

Por consiguiente, siempre que la funcionalidad sea una recurrente, la derivada va a ser 0 y lo puedes poner de manera directa.

Por ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función:

Como es una utilidad recurrente, escribimos de manera directa su derivada:

Derivada de la funcionalidad lineal

Las funcionalidades lineales son aquellas cuya forma son una x multiplicadas por un número:

La derivada de la funcionalidad lineal es el número que multiplica a la x:

Su demostración es la siguiente:

Por consiguiente, cuando las funcionalidad sea lineal, en su derivada va a desaparecer la x y se va a quedar sólo el número:

Veremos un ejemplo: Calcular al derivada de la siguiente función:

Su derivada es igual al número que tiene enfrente la x:

Derivada de la identidad

Un caso especial de la funcionalidad lineal es la funcionalidad identidad, o sea, cuando la funcionalidad es sólo una x::

La derivada de la funcionalidad identidad es igual a 1, que es igual al número que transporta delante:

Su demostración es:

Derivada de la funcionalidad afín

La funcionalidad afín es la que tiene la siguiente forma:

La derivada de la funcionalidad afín es el número que queda enfrente de la x. Todo lo demás desaparece:

Tiene sentido debido a que la derivada de una utilidad linea es el número que queda enfrente de la x y la derivada de un una recurrente es cero, por consiguiente, la suma de ámbas derivadas es igual al número que queda enfrente de la x.

Observaremos después que la derivada de una suma de funcionalidades es igual a la suma de las derivadas.

Su demostración derivando con la definición de la derivada es:

Entre otras cosas, calcular la derivada de:

De manera directa para calcular la derivada de esta funcionalidad, dejamos sólo el número que está multiplicando a la x:

Derivada de la funcionalidad potencial

Una utilidad potencial es aquella donde la x está elevada a un exponente. Para calcular su derivada, el exponente pasa a multiplicar a la x y se le resta 1 al exponente:

En vez de una x, tenemos la posibilidad de tener una utilidad elevada a un exponente. En ese caso, la derivada se calcula pasando el exponente a multiplicar a la funcionalidad, a cuyo exponente se le resta 1 y además todo lo previo queda multiplicado por la derivada de la función:

Entre otras cosas, calcular la derivada de:

Pasamos el 2 multiplicando a la x y le restamos 1 al exponente:

Veremos otro ejemplo con una utilidad elevada a un exponente: Derivar la siguiente función:

Pasamos el exponente a multiplicar la funcionalidad y al exponente de la funcionalidad le restamos 1 y todo eso, lo multiplicamos por la derivada de la funcionalidad, que esta compuesta por dos términos y su derivada va a ser la suma de la derivada de todos los términos:

En este vídeo tienes ejercicios explicados punto por punto acerca de cómo derivar funcionalidades potenciales:

Derivada de una recurrente por una función

Cuando poseemos una recurrente que está multiplicando a una utilidad, su derivada va a ser esa recurrente multiplicada por al derivada de la función:

Por ejemplo:

El 3 lo pasamos multiplicando y queda multiplicando al 27, que ya se encontraba. Al exponente de la x le restamos 1:

Derivada de una raíz

La derivada de una raíz es un caso especial de la funcionalidad potencial cuando el exponente es fraccionario. La derivada de la raíz cuadrada de x es la siguiente:

Si lo que poseemos es una utilidad dentro de la raíz cuadrada, su derivada es:

Generalmente, la derivada de una raíz, asi sea de x o de una utilidad es:

Por ejemplo:

En el denominador, el índice pasa a multiplicar a la raíz y se le resta 1 al exponente del radicando:

Veremos otro ejemplo de calcular la derivada de la raíz cuadrada de una función:

Derivada del logaritmo

La derivada de un logaritmo de x de base alguno es igual a 1 dividido por el producto de x por el logaritmo neperiano de la base:

Cuando el logaritmo es de una utilidad, su derivada es igual a 1 entre el producto de la funcionalidad por el logaritmo neperiano de la base, multiplicado por la derivada de la función:

Cuando la funcionalidad es logaritmo neperiano de x, su derivada es 1 entre x:

Y si la funcionalidad es logaritmo neperiano de una utilidad, su derivada es 1 entre la funcionalidad, multiplicado por la derivada de la función:

Entre otras cosas, la derivada de este logaritmo en base 12 de esta funcionalidad es:

En este vídeo tienes ejercicios resueltos de cómo derivar funcionalidades logarítmicas paso a paso:

Derivada de la funcionalidad exponencial

Poseemos una utilidad exponencial cuando la x está en el exponente. Su derivada es igual al mismo número alto a x multiplicado por el logaritmo neperiano de la base de la potencia:

Si el número está alto a una utilidad, la derivada es igual a la misma capacidad, multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por al derivada de la funcionalidad exponente:

Cuando el número al que está alto la x es el número e, la derivada es el mismo número e alto a x:

Si el número e está alto a una utilidad, su derivada es el mismo número e alto a la funcionalidad por la derivada de la función:

Entre otras cosas, en esta funcionalidad exponencial, donde el número está alto a una función:

Su derivada es:

En este otro ejemplo con el número e elevada a una función:

Su derivada es:

Aquí tienes un vídeo donde explico punto por punto cómo derivar funcionalidades exponenciales con ejercicios resueltos:

Derivada de las funcionalidades trigonométricas

Veremos en este momento las derivadas de las funcionalidades trigonométricas adjuntado con sus funcionalidades compuestas.

La derivada del seno es igual al coseno:

La derivada del coseno, es igual a menos seno:

La derivada de la tangente es igual a 1 más el cuadrado de la tangente o 1 entre el coseno cuadrado de x:

Esas tres funcionalidades trigonométricas son las más usadas. Te dejo además el resto de funcionalidades trigonométrica:

Contangente:

Secante:

Cosencante:

Observemos algunos ejemplos sobre derivar funcionalidades trigonométrica.

Derivar la siguiente funcionalidad seno:

Derivar la siguiente funcionalidad coseno:

Derivar la siguiente funcionalidad tangente:

Derivar la siguiente funcionalidad cotangente:

Aquí tienes un vídeo de cómo derivar funcionalidades trigonométricas con ejercicios resueltos paso a paso:

Derivada de las funcionalidades trigonométricas inversas

Éstas son las derivadas de las funcionalidades trigonométricas inversas primordiales.

Arco seno:

Arco coseno:

Arco tangente:

Operaciones con funcionalidades derivadas

Veremos en este momento cómo derivar funcionalidades que están formadas por bastante más de una utilidad, como la suma, la multiplicación, el cociente o la estructura de funcionalidades.

La derivada de la suma de dos funcionalidades ya la comentamos un poco en el apartado previo.

Derivada de la suma de dos funciones

La derivada de una suma de dos funcionalidades es igual a la suma de las derivadas de esas dos funciones:

Entre otras cosas, la derivada de la siguiente función:

es igual a la derivada de todos sus términos:

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funcionalidades es igual a la derivada de al primera funcionalidad, por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar, por la derivada de la segunda:

Por ejemplo:

Derivada del cociente de funciones

La derivada de un cociente de funcionalidades es igual a la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador sin derivar al cuadrado:

Por ejemplo:

Una vez aplicada la fórmula de la derivada de un cociente, ya sólo queda operar y agrupar términos semejantes:

Regla de la cadena. Derivada de la funcionalidad compuesta

En las funcionalidades compuestas por otras funciones:

Su derivada se calcula aplicando la regla de la cadena, que radica en ir derivando la funcionalidad que queda por fuera, multiplicada por la derivada de la capacidad de dentro:

Entre otras cosas, esta funcionalidad se constituye de una utilidad elevada a 4:

La capacidad de fuera es la funcionalidad elevada a 4 y al funcionalidad de dentro se ajusta a un polinomio.

Por consiguiente, aplicamos la regla de la cadena derivando la funcionalidad que queda por fuera, oséa, la funcionalidad elevada a 4, que pasamos el 4 a multiplicar y le restamos uno al exponente, y lo multiplicamos por la derivada de la capacidad de dentro, que se ajusta a la suma de sus derivadas:

Observemos otro ejemplo. En esta situación, poseemos una utilidad compuesta por una utilidad elevada a 6:

La funcionalidad que queda por fuera es una utilidad elevada a 6 y la capacidad de dentro es un cociente de funciones:

La regla de la cadena la hemos ido aplicando en el cálculo de todas las funcionalidades derivadas compuestas, oséa, cuando estaban formadas por una utilidad, debido a que si te percatas, todas están multiplicadas por f'(x).

Tabla de derivadas

Te dejo aquí una recolección de todas las derivadas para que lo poseas todo más a mano:

>> Bajar tabla de derivadas pdf

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